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Question

!!!JE DONNE 19 POINTS!!!

bonjour merci de m'aider je suis complètement perdue! (la figure est sur la photo)

Dans la figure ci contre, ABCD est un rectangle.
On donne AB= 8cm et AD= 10cm.
Le point M étant un point quelconque du segment (AB), on construit le carré AMEP et le rectangle EGCF.
On note x la longueur en cm du segment (AM) et f(x) l'aire de la partie hachurée.

1) quel est l'ensemble de définition de f?
2) Montrer que f(x) = 2x - 18x + 80
3) Montrer que f(x) = 2(x - 4,5)² + 39,5
4) En déduire la position du point M pour laquelle l'aire de la partie hachurée est minimale.
!!!JE DONNE 19 POINTS!!! bonjour merci de m'aider je suis complètement perdue! (la figure est sur la photo) Dans la figure ci contre, ABCD est un rectangle. On

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1 Réponse

  • 1) M appartient au segment [AB] équivaut à 0≤AM≤AB ,or AM=x et AB= 8 , on a déduit que 0≤x≤8 . L'ensemble de définition de f est l'intervalle [0;8]
    2) 
    Aire(AMEP)= AM×AP or AM= x et AP= AM=x
              Aire(AMEP) = x²
    Aire(EGCF.)= EG×CG or EG=AB-AM=8-x et CG=AD-AP=10-x 

    Aire(EGCF.)= (8-x)(10-x)=8×10-8x-10x+x²
                      =x²-18x+80 

    on sait que f(x)=Aire(AMEP)+Aire(EGCF.)
    donc f(x)=x²+x²-18x+80 =2x²-18x+80 

    3)  2(x - 4,5)² + 39,5=2(x²-2×x×4,5+4,5²) +39,5 

                                  = 2(x²-9x+20,25) +39,5
                                  = 2x²-18x+40,5+39,5
                                  =2x²-18x+80 

    2(x - 4,5)² + 39,5=2x²-18x+80
    On déduit que pour tout x appartenant à [0;8] , f(x)=2(x - 4,5)² + 39,5

    et par suite f(x)≥39,5 . Donc 39,5 est le minumum de f sur [0;8] qui est atteint pour x=4,5 . 
    Donc l'aire de la partie hachurée est minimale si le point  M est située à 4,5cm du point A .  
    Bon courage !


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