urgent, aide bonsoir, pouvez-vous m'aider sur cet exercice s'il vous plait ? MErci d'avance et bonne soirée.

Bonjour Melaniegbt49

[tex]g(x)=x\sqrt{2x+1}-1[/tex]

1) Limite de g(x) en +oo.

 [tex]\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{2x+1}=+\infty\\\\[/tex]

D'où   [tex]\lim\limits_{x\to+\infty}x\sqrt{2x+1}=+\infty\\\\[/tex]

Par conséquent, 

[tex]\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}(x\sqrt{2x+1}-1)=+\infty}[/tex]

[tex]2)\ g'(x)=(x\sqrt{2x+1})'-1'\\\\g'(x)=x'\sqrt{2x+1}+x(\sqrt{2x+1})'-0[/tex]

[tex]g'(x)=1\times\sqrt{2x+1}+x\times\dfrac{(2x+1)'}{2\sqrt{2x+1}}[/tex]

[tex]g'(x)=\sqrt{2x+1}+x\times\dfrac{2}{2\sqrt{2x+1}}[/tex]

[tex]g'(x)=\sqrt{2x+1}+\dfrac{x}{\sqrt{2x+1}}[/tex]

[tex]g'(x)=\dfrac{\sqrt{2x+1}\sqrt{2x+1}}{\sqrt{2x+1}}+\dfrac{x}{\sqrt{2x+1}}[/tex]

[tex]g'(x)=\dfrac{2x+1}{\sqrt{2x+1}}+\dfrac{x}{\sqrt{2x+1}}[/tex]

[tex]g'(x)=\dfrac{2x+1+x}{\sqrt{2x+1}}[/tex]

[tex]\boxed{g'(x)=\dfrac{3x+1}{\sqrt{2x+1}}}[/tex]

Signe de g'(x) : 

La fonction g est définie sur [0 ; +oo[ ==> x ≥ 0
                                                            ==> 3x+1 >0
Le dénominateur est strictement positif car c'est une racine carrée.

D'où g'(x) > 0 sur [0 ; +oo[

Par conséquent, la fonction g est strictement croissante sur [0 ; +oo[

3 a) g(0) = 0 - 1 ==> g(0) = -1 < 0
g(1) = √3 - 1 ≈ 0,7 > 0
g est strictement croissante sur [0 ; 1] car g est strictement croissante sur [0 ; +oo[

Selon le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une seule valeur α dans [0 ; 1] telle que g(α) = 0.

Puisque la fonction g est strictement croissante, si x > 1, alors g(x) > g(1),
soit si x > 1, alors g(x) > 0,7.
Il est donc impossible de trouver une valeur β dans l'intervalle [1 ; +oo[ telle que g(β) = 0

Par conséquent, il existe une seule valeur α dans [0 ; +oo[ telle que g(α) = 0.
α est donc l'unique solution de l'équation g(x) = 0  dans [0 ; +oo[.

b) g(0) = -1 et g(1) ≈ -0,7 ==> α ∈ [0 ; 1]
g(0,6) ≈ - 0,11 et g(0,7) ≈ 0,08 ==> α ∈ [0,6 ; 0,7]
g(0,65) ≈ - 0,014 et g(0,66) ≈ 0,005 ==> α ∈ [0,65 ; 0,66]

Par conséquent,
un encadrement de α à moins de 0,01 près est 0,65 < α < 0,66.

c) Signe de g(x)

Puisque g est strictement croissante, nous avons : 

0 ≤ x ≤ α ==> g(0) ≤ g(x) ≤ g(α)
0 ≤ x ≤ α ==> -1 ≤ g(x) ≤ 0

x ≥ α ==> g(x) ≥ g(α)
x ≥ α ==> g(x) ≥ 0

Par conséquent,
Si 0 ≤ x ≤ α, alors g(x) ≤ 0
Si  x ≥ α, alors g(x) ≥ 0

Partie B

[tex]f(x)=\dfrac{x^2}{2}-\sqrt{2x+1}[/tex]

[tex]1)\ f'(x)=(\dfrac{x^2}{2})'-(\sqrt{2x+1})'[/tex]

[tex]f'(x)=\dfrac{2x}{2}-\dfrac{(2x+1)'}{2\sqrt{2x+1}}[/tex]

[tex]f'(x)=x-\dfrac{2}{2\sqrt{2x+1}}[/tex]

[tex]f'(x)=x-\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}[/tex]

[tex]f'(x)=\dfrac{x\sqrt{2x+1}}{\sqrt{2x+1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}[/tex]

[tex]\boxed{f'(x)=\dfrac{x\sqrt{2x+1}-1}{\sqrt{2x+1}}}[/tex]

[tex]\boxed{f'(x)=\dfrac{g(x)}{\sqrt{2x+1}}}[/tex]

2) Puisque le dénominateur est strictement positif, le signe de f'(x) est le même que celui du numérateur g(x).

Donc,
Si 0 ≤ x ≤ α, alors f '(x) ≤ 0
Si  x ≥ α, alors f '(x) ≥ 0

Par conséquent,
Si 0 ≤ x ≤ α, alors f est décroissante
Si  x ≥ α, alors f est croissante.