26086 Bonjour, Voici mon exercice de maths : Partie A : On considère la fonction g définie sur [1;+infini[ par g(x) = ln x - (1/2). 1) Etudier le sens de variat

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Bonjour,
Voici mon exercice de maths :
Partie A :
On considère la fonction g définie sur [1;+infini[ par g(x) = ln x - (1/2).

1) Etudier le sens de variation de g sur [1;+infini[.

2) Résoudre l'équation g(x) = 0 dans [1;+infini[.

3) En déduire que g(x) > 0 si, et seulement si, x > V(e).
Partie B :
On considère la fonction f définie sur [1;+infini[ par f(x) = 2x² (ln x - 1) + 2.

1) On appelle f' la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle [1;+infini[.

a) Montrer que pour tout nombre réel x de l'intervalle [1;+infini[, f'(x) = 4x g(x).

b) Etudier le signe de f'(x) sur [1;+infini[ et en déduire le sens de variation de f sur [1;+infini[.
2) a) Montrer que, dans l'intervalle [2;3], l'équation f(x) = 0 admet une solution unique notée a.

b) Déterminer un encadrement d'amplitude 10-2 de a.

3) L'algorithme ci-contre permet de déterminer un encadrement de la solution a.

Entrées
Saisir a, b et p trois nombres réels tels que 2 ≤ a < b ≤ 3 et p > 0.
Traitement

Tant que f(a) * f(a + p) > 0 et a + p  ≤ b, a prend la valeur a + p.

Fin Tantque

Sortie

Afficher "La solution est dans l'intervalle [a;a+p]"
a) Préciser le rôle des variables a, b et p.
b) Expliquer l'instruction "Tant que f(a) * f(a + p) > 0"

 c) Appliquer l'algorithme avec a = 2, b = 3 et p = 0,1.

d) Quelles valeurs faudrait-il saisir pour a, b et p afin que l'algorithme retourne l'encadrement trouvé à la question précédente?

e) L'algorithme tel qu'il a été écrit suppose que la solution appartient à l'intervalle [a;b] saisi en entrée.
Modifier l'algorithme de sorte que s'il n'y a pas de solution dans cet intervalle, une phrase bien choisie soit retournée.
Voici ce que j'ai fait :

 

Partie A :

 

1)      g(x) = ln(x) -    (1/2)  sur [1 ;+∞[

g’(x) = 1/x

 

1/x > 0 car si x appartient à [1 ;+∞[ alors x est toujours supérieur à 0 alors g’(x) est toujours supérieur à 0 alors g(x) est toujours croissante.

2)      g(x) = 0

ln(x) – 1/2 = 0

ln(x) = 0,5

eln(x) = e0,5

x = e0,5

x = V(e)

3) g(x) > 0

ln(x) - 1/2  > 0

ln(x) > 0,5

eln(x) > e0,5

x > e0,5

x > V(e)

 

Partie B :

 

1)      a) f(x) = 2x² (ln x – 1) + 2

    f’(x) = 4x * (ln(x) – 1) + (1/x * 2x²)

   f’(x) = 4x * (ln(x) – 1) + (2x²/x)

  f’(x) = 4x * (ln(x) – 1) + 2x

f’(x) = 4x * ln(x) – 4x + 2x

f’(x) = 4x (ln(x) - 1/2)

b) f’(x) est négatif sur [1 ; V(e)] et positif sur [V(e)  ;+∞[.

Donc f(x) est décroissante sur [1 ; ] et croissante sur [  ;+∞[.

 

2)      a) L’équation f(x) = 0 n’admet qu’une solution sur [2 ;3] car elle est strictement croissante sur [2 ;3] et comme f(2) < 0 et f(3) > 0, il y a bien une seule et unique valeur sur cet intervalle en laquelle f(x) = 0.

b) 2,21 < a < 2,22

3) a) a, b et p permettent de trouver la valeur où f(x) = 0.

b) Cette instruction signifie que l’algorithme ne marchera que quand f(a) * f(a + p) > 0  et que quand f(a) * f(a + p) < 0, il se passera autre chose.

d) Il faudrait saisir a = 2,2, b = 2,3 et p = 10-2.

 

J'ai fait en plus l'algorithme sur algobox :

 

CODE DE L'ALGORITHME :

1 VARIABLES

2 a EST_DU_TYPE NOMBRE

3 b EST_DU_TYPE NOMBRE

4 p EST_DU_TYPE NOMBRE

5 DEBUT_ALGORITHME

6 AFFICHER "2 ≤ a < b ≤ 3 et p > 0"

7 TANT_QUE (a<2 ou a>=b ou b>3 ou p<=0) FAIRE

8 DEBUT_TANT_QUE

9 LIRE a

10 LIRE b

11 LIRE p

12 FIN_TANT_QUE

13 SI (F1(a)*F1(b)<0) ALORS

14 DEBUT_SI
15 TANT_QUE (F1(a)*F1(a+p)>0 ET a+p<=b) FAIRE

16 DEBUT_TANT_QUE
17 a PREND_LA_VALEUR a+p

18 FIN_TANT_QUE

19 AFFICHER "La solution est dans l'intervalle ["

20 AFFICHER a

21 AFFICHER " ; "

22 a PREND_LA_VALEUR a+p

23 AFFICHER a

24 FIN_SI

25 SINON

26 DEBUT_SINON

27 AFFICHER "Il n'y a pas de solution dans l'intervalle ["
28 AFFICHER a

29 AFFICHER " ; "

30 AFFICHER b

31 FIN_SINON
32 AFFICHER "]"

33 FIN_ALGORITHME

34

35 Fonction numérique utilisée :

36 F1(x)=2*pow(x,2)*(log(x)-1)+2

 

Est-ce que quelqu'un pourra me vérifier s'il vous plaît car à mon avis, il y a quelques fautes?