S'il vous plait c'est pour lundi !!!!! Je n'y arrive pas et je désespère ! Merci...

Bonjour Elisabeth28

[tex]f(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}[/tex]

[tex]1)a)\ f(-x)=\dfrac{e^{-x}-e^{-(-x)}}{2}[/tex]

[tex]f(-x)=\dfrac{e^{-x}-e^{x}}{2}[/tex]

[tex]f(-x)=\dfrac{-(e^{-x}+e^x)}{2}[/tex]

[tex]f(-x)=-\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}[/tex]

[tex]\boxed{f(-x)=-f(x)}[/tex]

D'où, la fonction f est impaire et la courbe C représentant f est symétrique par rapport à l'origine (0;0) du repère.

[tex]b)\ \left\{\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}e^x=0\\\lim\limits_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}=-\infty[/tex]

D'où  [tex]\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}[/tex]

[tex]\left\{\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}e^x=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}e^{-x}=0\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}=+\infty[/tex]

D'où  [tex]\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}[/tex]

[tex]f'(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\ \textgreater \ 0\ \ car\ \ e^x\ \textgreater \ 0\ \ et\ \ e^{-x}\ \textgreater \ 0[/tex]

Donc f est strictement croissante sur R.

c) Calculons f(0).

[tex]f(0)=\dfrac{e^0-e^{0}}{2}=\dfrac{1-1}{2}=0\Longrightarrow \boxed{f(0)=0}[/tex]

Par définition de la croissance d'une fonction et sachant que f est strictement croissante sur R, nous déduisons que :

si x < 0, alors f(x) < f(0)
si x > 0, alors f(x) > f(0)

soit que :

si x < 0, alors f(x) < 0
si x > 0, alors f(x) > 0

d) Courbe C en pièce jointe.

[tex]g(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}[/tex]

[tex]2)a)\ g(-x)=\dfrac{e^{-x}+e^{x}}{2}\\\\\boxed{g(-x)=g(x)}[/tex]

D'où, la fonction g est paire et la courbe C' représentant g est symétrique par rapport à l'axe (Oy).

[tex]b)\ \left\{\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}e^x=0\\\lim\limits_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}=+\infty[/tex]

D'où  [tex]\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=+\infty}[/tex]

[tex]\left\{\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}e^x=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}e^{-x}=0\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}=+\infty[/tex]

D'où  [tex]\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty}[/tex]

[tex]g'(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\\\\g'(x)=f(x)[/tex]

En tenant compte du signe de f(x) étudié dans la question 1c), nous déduisons que :
si x < 0, alors g'(x) < 0 ==> la fonction g est strictement décroissante sur ]-oo ; 0]
si x > 0, alors g'(x) > 0 ==> la fonction g est strictement croissante sur [0 ; +oo[

[tex]c)\ \lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to+\infty}(\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}-\dfrac{e^x+e^{-x}}{2})[/tex]

[tex]\lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to+\infty}(\dfrac{e^x-e^{-x}-e^x-e^{-x}}{2})[/tex]

[tex]\lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to+\infty}(\dfrac{-2e^{-x}}{2})[/tex]

[tex]\lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to+\infty}(-e^{-x})[/tex]

[tex]\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-g(x))=0^-}[/tex]

Par conséquent,
en +oo, les courbes C et C' sont asymptotiques entre elles et le courbe C' est au-dessus de la courbe C.

d) Graphique en pièce jointe.

[tex]3)a)\ f(x)+g(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}+\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}[/tex]

[tex]f(x)+g(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}+e^x+e^{-x}}{2}[/tex]

[tex]f(x)+g(x)=\dfrac{2e^x}{2}[/tex]

[tex]\boxed{f(x)+g(x)=e^x}[/tex]
.
[tex]b) g^2(x)=(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2})^2[/tex]

[tex]g^2(x)=\dfrac{(e^x+e^{-x})^2}{4}[/tex]

[tex]g^2(x)=\dfrac{e^{2x}+2\times e^x\times e^{-x}+e^{-2x}}{4}[/tex]

[tex]g^2(x)=\dfrac{e^{2x}+2\times e^{x-x}+e^{-2x}}{4}[/tex]

[tex]g^2(x)=\dfrac{e^{2x}+2\times e^{0}+e^{-2x}}{4}[/tex]

[tex]g^2(x)=\dfrac{e^{2x}+2\times 1+e^{-2x}}{4}[/tex]

[tex]g^2(x)=\dfrac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}[/tex]

De même

[tex]f^2(x)=(\dfrac{e^x-e^{-x}}{2})^2[/tex]

[tex]f^2(x)=\dfrac{(e^x-e^{-x})^2}{4}[/tex]

[tex]f^2(x)=\dfrac{e^{2x}-2\times e^x\times e^{-x}+e^{-2x}}{4}[/tex]

[tex]f^2(x)=\dfrac{e^{2x}-2\times e^{x-x}+e^{-2x}}{4}[/tex]

[tex]f^2(x)=\dfrac{e^{2x}-2\times e^{0}+e^{-2x}}{4}[/tex]

[tex]f^2(x)=\dfrac{e^{2x}-2\times 1+e^{-2x}}{4}[/tex]

[tex]f^2(x)=\dfrac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}[/tex]

D'où

[tex]g^2(x)-f^2(x)=\dfrac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}-\dfrac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}[/tex]

[tex]g^2(x)-f^2(x)=\dfrac{e^{2x}+2+e^{-2x}-e^{2x}+2-e^{-2x}}{4}[/tex]

[tex]g^2(x)-f^2(x)=\dfrac{4}{4}[/tex]

[tex]\boxed{g^2(x)-f^2(x)=1}[/tex]