S'IL VOUS PLAÎT, JE NE COMPRENDS RIEN SUR LE EXERCICE N 1 MAIS JE SAIS QUE il faut utiliser le théorème de Pythagore. ..

Bonsoir,

Le théorème de Pythagore étant AC² = AB² + BC², tu dois remplacer les valeurs qu'on te donne.
Ainsi tu as :
( x² + y² )² = ( x² - y² )² + ( 2xy )²

À ce stade, tu dois simplifier l'écriture jusqu'à trouver une équivalence "plus simple", ici l'égalité ne paraît pas du tout évidente.

 ( x² + y² )² - (x² - y²)² = ( 2xy )²
(L'arranger sous cette forme est plus simple pour la suite)
Sur la gauche, tu reconnais ici une identité remarquable qui est " a² - b² ", tu dois donc la factoriser en " (a + b) (a - b) "

[(x² + y²) + (x² - y²)] [(x² + y²) - (x² - y²)] = (2xy)²

L'important est bien comprendre à quoi correspondent a et b. 
a correspond à x² + y² ( donc a² à (x² + y²)²  ) et b correspond à x² - y² ( donc b² à (x² - y²)²  ).
C'était l'étape la plus délicate à comprendre, la suite de l'équation se résout facilement.
Tu simplifies l'écriture du dessus et tu obtiens:
( 2x² ) ( 2y² ) = (2xy²)
4x² y² = (2xy)²   L'égalité paraît désormais évidente.
[ 4x² y² = 4 x² y² ]

Tu as prouvé une égalité correspondant au théorème de Pythagore donc tu peux affirmer  que le triangle ABC est rectangle en B.
J'ai passé du temps à essayer d'expliquer le calcul et à le détailler au maximum, j'espère que tu as compris le principe.