Soit f la fonction definie par:f(x)=-x^2+3x+1 Montre que l'equation x^3=3x+1 admet trois solutions réelle s distinctes.
Mathématiques
touredior96
Question
Soit f la fonction definie par:f(x)=-x^2+3x+1
Montre que l'equation x^3=3x+1 admet trois solutions réelle s distinctes.
Montre que l'equation x^3=3x+1 admet trois solutions réelle s distinctes.
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
x^3=3x+1
x^3-3x-1=0
soit f(x)=x^3-3x-1
f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)
on déduit que :
f est croissante sur ]-∞;-1] et sur [1;+∞[ et f est décroissante sur [-1;1]
par ailleurs :
* sur [-2;-1], f est continue et monotone avec f(-2)<0 et f(-1)>0
d'après le th des valeurs intermédiaires l'équation f(x)=0 admet une solution unique a∈[-2;-1]
* sur [-1;1], f est continue et monotone avec f(-1)>0 et f(1)<0
d'après le th des valeurs intermédiaires l'équation f(x)=0 admet une solution unique b∈[-1;1]
* sur [1;2], f est continue et monotone avec f(1)<0 et f(2)>0
d'après le th des valeurs intermédiaires l'équation f(x)=0 admet une solution unique c∈[1;2]
on trouve alors a≈-1,5321 ; b≈-0,3473 ;c≈1,8794